En su libro "El gato de Schrodinger en el árbol de Mandelbrot" Ernest P. Fischer plantea un interesante recorrido de ideas al rededor del tema "El trato con lo infinito". Utiliza la información que este autor te proporciona para fundamentar tu participación en este foro.
Recuerdas que en clase hemos utilizado ciertos "números" que nos han puesto a pensar: "0, 1, i, e y pi". Recuerdas? "e elevado a i veces pi, más uno, es igual a cero ".
- Cómo podrías comprobar que la fórmula "e elevado a i veces pi, más uno, es igual a cero"es verdadera?
- Es i elevado a la i un número real o un número complejo? Justifica tu respuesta.
- Qué número es mayor "e elevado a la pi" o "pi elevado a la e"?
- Indica cuál es el objeto más pequeño de tamaño (lo que coloquialmente llamarias infinitamente pequeño) y el objeto más grande (lo infinitamente grande) que en tu opinión existe en la naturaleza?
(Puedes encontrar información interesante en la siguiente dirección)
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Aquí lo apropiado es trabajar con el logaritmo natural (Ln)
ResponderEliminarCálculo previo
Debemos tener presente la fórmula Ln (ai) = Ln a + π/2 i. Esta fórmula nos permite calcular el logaritmo de i porque se obtiene directamente de ella para a = 1 :
Ln i = Ln 1 + π/2 i = 0 + π/2 i = π/2 i
Entonces, la unidad imaginaria puede escribirse como:
i = e*Lni = e*(π/2 i) ..... (1)
(simbolizo con asterisco la elevación a exponentes)
Entonces ya podemos calcular lo propuesto
Cálculo de i elevado a la i (aquí lo escribo como i*i).-
La base de la potencia puede ser reemplazada por (1):
i*i = [ e*(π/2 i) ] * i ....... (2) ;
como en potencia de potencia los exponentes se multiplican, tenemos (π/2 i).i = π/2 i² = - π/2 , aplicando en (2) :
i*i = e*(- π/2) ; que es la respuesta
Ahora si lo vemos Expresado el número complejo "i" en forma polar:
i = e^i(π/2+2kπ), k=0,1,2...;
Elevando a la potencia "i":
i^i = e^i²(π/2+2kπ) = e^-(π/2+2kπ), k=0,1,2...;
Para :
k= 0: i^i ≈ e^-(π/2) = 0,2078795764
k= 1: i^i ≈ e^-(5π/2) = 3,8820320393x10^-4
k= 2: i^i ≈ e^-(9π/2) = 7,249472516x10^-7
i^i tiene infinitos valores todos ellos reales.
….Con respecto a la otra pregunta:
e= 2.7182828284
π= 3.14159
e*π= 23.1407 > π*e=22.4592
Los números complejos se pueden escribir en una representación trigonométrica
ResponderEliminarz = cos t + i sen t <----------(1)
obteniendo la derivada dz
dz = - sen(t) dt + i cos(t) dt ;
dz = i dt [ -(sen t) / i + cos t ] ;
dz = i dt [ - i (sen t) / i^2 + cos t ] ; recuerda i^2 = -1
dz = i dt [ i sen t + cos t ] ; dividiendo con eq. (1)
dz / z = i dt
ahora si integro
ln z = i*t ;
z = e^(i*t) ; de (1)
cos t + i sen t = e^(i*t)
ahora, si tomo e^(i*t) con el valor de t = pi/2 entonces
e^(i*(pi/2)) = cos (pi/2) + i sen (pi/2) = i
ahora evaluo lo que quería
[ e^(i*(pi/2)) ] ^ i = e^[ (i^2)*(pi/2) ] ; con i^2 = -1
i ^ i = e ^ [ - (pi/2) ] = 1 / [e^(pi/2)]
evaluando con los valores de pi=3.14159 y e=2.71828
i ^ i ≈ 1 / (4.81048) ≈ 0.20788
es raro que los imaginarios ( i^i ) den como resultado reales....
Y su otra pregunta se hace fácilmente en una calculadora para comprobar que:
e^Pi ~= 23.14 y Pi^e ~= 22.46 por lo que entonces e^Pi> Pi^e.
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ResponderEliminar1. La Fórmula de Euler [e^(i•π)]+1=0 es considerada la más bella del mundo, porque en una forma sencilla y elegante relaciona 5 de las entidades fundamentales de la matemática (lo geométrico representado por π, lo algebraico por i, lo aritmético por el 1 el 0, y el elemento que los reúne a todos e ), y se encuentra en el centro de nuestras vidas, investigando un poco más lo encontramos en el teléfono celular, meteorología, aviones, barcos, sistemas anti robo y todo lo que use el sistema de posicionamiento global. Bueno la demostración es como sigue: para empezar comencemos enunciando la relación e^(iz)=isenz+cosz, donde sustituyendo z por π vemos que isen π = 0 y cos π = -1 donde nos queda que [e^(iπ)]+1=-1+1=0.
ResponderEliminar2. Para demostrar que si i^i es un numero real o imaginario comenzamos planteando nuevamente la relación e^(iz)= isenz+cosz done si sustituimos z por π/2 nos queda que e^(i π/2) = i sen(π/2)+cos(π/2), donde observamos que sen(π/2)=1 y cos(π/2)=0, entonces nos queda [e^(i π/2)]=i(1)+0 en consecuencia tenemos que [e^(i π/2)]=i. Teniendo esta nueva relación planteamos nuevamente nuestro problema i^i=[e^(i π/2)]^i = e^[(i^2)π/2] y sabemos que i^2=-1 entonces nos queda que i^i= e^(-π/2) y este resultado es un numero REAL. Por lo tanto queda demostrado que i^i ES REAL.
3. e^π es mayor que π^e dado que e^π=23.140692… y π^e=22.459157… para esta demostración tenemos que hacer uso de logaritmos naturales, y sí los podemos usar, ya que tanto e como π son números mayores que uno. También tenemos que utilizar la serie (e^n)/n= 1+(1/n)+(n/2)+[(n^2)/6]+… y de este modo llegamos a la conclusión anterior.
4. En mi opinión el objeto natural más grande que he podido conocer es la 15va estrella más brillante y se encuentra a 1000 años luz de nuestro planeta, su nombre es ANTARES; y el más pequeño son los quarks.
1. La identidad de Euler e^iπ + 1 = 0 se demuestra usando la formula e^zi = isenz +cosz
ResponderEliminarEntonces e^iπ = isenπ +cosπ =i*0 – 1 = –1
Y si sumamos 1 tenemos e^iπ + 1 = – 1 + 1 = 0
Por lo tanto e^iπ + 1 = 0.
2. i^i es real
Determinamos cuanto vale e^(iπ/2) usando la formula e^zi = isenz +cosz:
e^(iπ/2) = isen(π/2) +cos(π/2) = i*1 + 0
e^(iπ/2) = i
entonces i^i = (e^(iπ/2))^i = e^( i^2(π/2)) y como i^2 = – 1
entonces e^( i^2(π/2)) = e^(–π/2)
por tanto i^i es real.
3. e^π es mayor que π^e. es fácil ver esto usando la calculadora.
4. Infinitamente Grande es VY Canis Majoris (VY CMa), es una estrella hipergigante roja, la más grande y una de las más luminosas conocidas hasta la fecha, localizada en la constelación de Canis Major, tiene un radio de 14 unidades astronómicas, lo que equivale a 3000 radios solares.
Infinitamente Pequeño es las partículas ‘quark’100 atometros (10^ – 16m)
1. Probar que e^iπ+1=0
ResponderEliminarConsideremos la relación de Euler : e^ix=cosx+ i*sinx, para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, senx y cosx son funciones trigonométricas. Basta con evaluar la fórmula de Euler en x = π, obteniendo:
e^iπ=cosπ+ i*sinπ + 1=(e^iπ+e^(-iπ))/2+ (i*(e^iπ-e^(-iπ))/2i) + 1=(2e^iπ)/2 + 1=e^iπ + 1=0
→e^iπ=-1.
2. Probar que i^i es un número real. i elevada a la potencia i es un número irracional conocido: i^i=0.20787958140365…
Demostración. Partiendo de la Fórmula de Euler e^ix=cosx + i*sinx , tomamos x=π/2→
e^(i π/2)=cos〖π/2〗+ i*sin〖π/2〗=0+i→
e^(i π/2)=i, elevando ambos miembros de la igualdad a la potencia i tenemos
i^i=〖(e^(i π/2))〗^i=e^(-π/2)=1/e^(π⁄2) →
i=1/√(e^π ) , donde e=2.71828182845904 ...;
π= 3.14159265358979 ... ;〖 e〗^(π/2)= 4.810477381… ; 1/e^(π/2) =0.20787958140365...
3. e^π=23.14069263… y π^e=22.45915772…→e^π>π^e.
4. Compañeros he aquí la única respuesta producto de mis pensamientos y, por tanto la más importante: ¿Creerían que para mí es el universo infinito en lo grande e infinito en lo pequeño? … no se que entienden por “objeto”, pero mi concepto de esta palabra se refiere a entes “abstractos “y también “concretos”, ninguno excluido: consideremos la geometría de los fractales, uno de ellos, el famoso conjunto de Mandelbrot y por ser conjunto posee elementos ¿Podrán decirme que los elementos son infinitamente pequeños con respecto al conjunto? ¿Existen elementos infinitamente más grandes que otros? No lo sé, las líneas fractales me sorprenden y atemorizan a la vez... EL experimento de la CERN con el LHC pretende comprobar la existencia de la partícula de Higgs, carente de masa y con un volumen infinitamente pequeño. Si es posible encontrar una partícula más pequeña que un quark, ¿Tendrá estructura esta nueva partícula? ¿Encontraremos el componente último de la naturaleza, infinitamente pequeño?... Entró en un debate filosófico del cuál no salgo bien librada y para evitarme el dolor de cabeza prefiero quedarme “limitada” a la infinitud numerable de los números naturales… y por qué no con la infinitud que expone Cantor con su conjunto…
Dixie Rosales
ResponderEliminar1. Sabemos que e^ix = cosx + isenx.
de ahí que e^iπ = cosπ + isenπ.
Volviendo a nuestra ecuación...
e^iπ + 1 = 0 (sustituimos e^iπ por cosπ+isenπ)
(cosπ + isenπ)+ 1 = 0
(-1 + 0)+ 1 = 0 (evaluando cosπ+isenπ)
-1 + 1 = 0
0 = 0
Esto prueba que la fórmula e^iπ + 1 = 0 es verdadera.
2.i^i es un número real!! Veamos...
i lo podemos re-escribir como
e^iπ/2 así que
i^i = e^(iπ/2)^i
= e^i*i(π/2)
= e^-π/2
= 0.207879576...
Siendo este un número real.
3. e^π es mayor que π^e. Veamos...
Supongamos que π^e > e^π
Entonces e(lnπ) > π(lne)
e(lnπ) > π
3.111698 > 3.141592 (FALSO!)
Por tanto e^π > π^e
4. Sin lugar a dudas, el "objeto de la naturaleza" infinitamente grande que existe es el universo, donde las distancias se expresan en miles y millones de años luz; y aun no terminamos de descubrirlo!!
Por su parte, el objeto de la naturaleza más pequeño (infinitamente pequeño) que hasta ahora se conoce, serían los quarks.
Cindy
ResponderEliminarUtilizando la ecuación de Euler e^(iθ)=cos(θ)+isen(θ),con θ=π,tenemos: e^[(iπ)]+ 1 = cos(π) + sen(π) + 1= -1+0+1=0.
Utilizando e^(iθ)=cos(θ)+isen(θ),con θ=π/2, e^(iπ/2)= [cos(π⁄2)+ isen(π⁄2)]^i = i. En consecuencia i^i= [e^(iπ/2)]^i= e^(i^(2)π)/2) =e^(-π/2) un número real.
e^π=23.140692, π^e=22.459157. De manera que e^(π) > π^(e).
Decir cuales son los objetos más pequeño y grande que existe en la naturaleza es complicado, tengo la idea que existen estructuras que junto con más estructuras semejantes forman estructuras cada vez más y más grandes; de las misma manera logro imaginar partículas tan pequeñas formadas por partículas más pequeñas semejantes unas con las otras. En ambas ideas es imposible querer encontrar un objeto lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño como para nombrarlo.
*Para comprobar la fórmula e^iπ+1=0 se hace de la siguiente manera:
ResponderEliminarcosπ + isinπ + 1 = 0
-1 + 0 + 1 = 0
0 = 0
e^π=23∙140692⋯
π^e=22∙459157⋯
Por lo tanto “e elevado a la pi” es mayor que “pi elevado a la e”.
*En mi opinión el objeto más grande es el universo pues dentro de él se encuentra todo y el más pequeño los quarks.
1) Para resolver la ecuación podemos emplear la siguiente expresión:
ResponderEliminare^(iɵ) = cosɵ + isenɵ, empleamos este mismo principio a la ecuación que queremos comprobar, e^(iπ) +1=0. Reemplazamos e^(iπ) por (cosπ + isenπ) entonces nuestra ecuación nos queda cosπ+isenπ +1=0, sabiendo que
cosπ= -1 y senπ = 0, proseguimos a reemplazar estos datos en nuestra ecuación y podemos comprobar que la ecuación tiene un resultado de cero, -1+i0+1=0.
2) i elevada a la i es un número real, por la siguiente razón:
Empleamos nuevamente la expresión
e^(iɵ) = cosɵ + isenɵ, si utilizamos un ángulo teta igual a π/2 y lo sustituimos en la expresión anterior para quedarnos de esta forma e^(i π/2) = cosπ/2 + isenπ/2 , sabiendo que cosπ/2 =0 y senπ/2=1 entonces esa ecuación de forma simplificada nos queda e^(i π/2)= i.
podemos ver que esta igualdad
[e^(i π/2)]^i = i^i que también es igual a
[e^(i^2 π/2)]=i^i, ya que i^2 = -1 quedándonos la igualdad [e^(-π/2)]=i^i. Así confirmamos que i^i es un numero real.
3) e elevado a la pi es mayor que pi elevado a la e, lo podemos confirmar utilizando una calculadora, obteniendo los siguientes resultados de e^π = 23.14069263 y
π^ e= 22.45915772. Por medio de esos resultados nos damos cuenta que nuestra simple intuición de elevar una numero y comparar la con otra magnitud que también está elevada a un numero, nos podría fácilmente confundir.
3. Antes se pensaba que el átomo era indivisible y se creía que era la unidad más pequeña de la materia pero gracias a la física cuántica nos hemos dado cuenta que existen los quarks que son las partículas más pequeñas del átomo que han descubierto hasta ahora. Todo esto me ha hecho pensar que en la naturaleza existen partículas aun más y más pequeñas que no se han visto o comprobado experimental mente que puedan existir. El Manzanillo de Mandelbrot nos da una idea clara de lo que hablo, ya que si observamos el Manzanillo de Mandelbrot de cerca se ramifica y si observamos más y más cerca podemos ver que las ramificaciones poseen otras ramificaciones cada vez más pequeña pero que esas ramificaciones tienen otras aun más pequeñas. Es por esto que me atrevo a decir que podrían existir partículas más pequeñas que los quarks, sólo falta observar aun más de cerca el interior de los quark para saber de que están constituidos.
De igual forma creo que pasa con los objetos grandes, porque podemos ver que el monte enveres es sumamente grande, pero este constituye una porción en la planeta tierra y el planeta tierra es parte de la villa láctea y la villa láctea es parte de toda la galaxia y así sucesivamente podemos ir viendo aun más hacia arriba y saber que existen cosas aun más grandes que forman un todo pero que ese todo se encuentra constituyendo un todo cada vez más grande. Por esta idea no podría definir que objeto o cosa en la naturaleza es más grande.
Cindy..
ResponderEliminarCreo que te equivocaste cuando escribiste “Utilizando e^(iθ)=cos(θ)+isen(θ), con θ=π/2, e^(iπ/2)= [cos(π⁄2)+ isen(π⁄2)]^i = i “ . porque no es con θ=π/2 sino θ= π/2 para que concuerde con lo que continuaste escribiendo.
1_ Sabemos que es verdadera porque al utilizar la formula de euler e^iθ=cosθ+isen θ y evaluando en pi, sustituimos el valor de e^iθ, nos da como resultado cosθ+isenθ+ 1=0 y evaluando, esto es -1 + i(0) + 1, lo que da como resultado cero!
ResponderEliminar2_ Es un numero real porque si utilizamos la misma ecuación e^iθ=cosθ+isen θ y evaluándola en π/2 obtenemos que e^iθ=i, ahora elevando este resultado a i es (e^iθ)^i pero i^2 es -1, entonces i^i=e^(-π/2) y esto es un numero real.
3_ Es mayor e elevado a la pi, ingresando valores en la calculadora nos daríamos cuenta de este resultado.
4_ Cuando se trata de hablar en algo infinitamente pequeño me quedo pensando y llego a la conclusión que no sé qué es lo más pequeño aunque se diga que las partículas más elementales sean los quarks, pero no sé qué es eso! Y si hablamos de algo infinitamente grande quedo en lo mismo porque hay tantas cosas queyo creo que no se han logrado descubrir todo lo que existe.
para los compañeros que pusieron qu lo mas grande es un objeto en especifico creo que deberian ponerse a pensar y ver que hay mas muchas cosas en las no se puede ni imaginar y que talvez si existan.
ResponderEliminarPara Merly... Creo que en tus notas te refieres al Monte Everest y continuas con la VÍA LÁCTEA... y no estoy de acuerdo con el comentario de que "EL TODO ES MAYOR QUE LAS PARTES"...Esta afirmación es cierta cuando tratamos con conjuntos finitos, pero no se cumple con conjuntos infinitos. El primero que lo demostró fue Galileo en su paradoja.En sus célebres "Diálogos" Galileo llegó a la conclusión de que los conceptos de menor, igual y mayor sólo se aplicaban a conjuntos finitos, y no tenían sentido aplicados a conjuntos infinitos. En el siglo XIX, Cantor, usando los mismos métodos, demostró que a pesar de que el resultado de Galileo era correcto si se aplicaba a los números enteros, o incluso a los racionales, la conclusión general no era cierta: algunos conjuntos infinitos son mayores que otros, en el sentido en el que no se pueden relacionar en una correspondencia uno-a-uno.
ResponderEliminar1.Esta es la formula de Euler y su famosa identidad,tomamos como caso particular x= π
ResponderEliminarY se usa la formula sinx= (e^ix-e^(-ix))/2i; cosx= (e^ix+e^(-ix))/2i;e^ix=cosx+ isinx
Entonces e^iπ = isenπ +cosπ =i*0 – 1 = –1
Y si sumamos 1 tenemos e^iπ + 1 = – 1 + 1 = 0
Por lo tanto e^iπ + 1 = 0.
2.Como podemos observar en esta fórmula es lo complejo de sus dos miembros ya que mientras que en el izquierdo solo aparecen unidades imaginarias, en el derecho tan solo aparecen números reales(Nos deja mucho que pensar).
Euler obtuvo esta fórmula como consecuencia de su cálculo del logaritmo de un número complejo uso como unidad imaginaria el módulo r = 1 y argumento θ = π/2, tomando logaritmos se tiene:
lni=i.(π/2+2kπ)
i^i=e^ln(i^i )=e^(i-lni )=e^(i.i(π/2+2kπ)=e^(-(π/2+2kπ)
En el caso k=0, da:
i^i=e^(-π/2)
por lo que podemos concluir que es un número real.
3.Auxiliándonos de una calculadora podemos observa que “e elevado a la pi” es mayor que “pi elevado a la e”.
e^π =23.14069 y π^e =22.45916
4. En mi opinión no sabría decir cual es el objeto más grande descubierto en la naturaleza porque así como podemos decir que es la estrella hipergigante roja Canis Majoris o la 15va estrella ANTARES también podemos mencionar una súper estructura en forma de ameba formada por galaxias y nubes de gas que tiene 200 millones de años luz de ancho y que se conoce como machas Lyman alfa y se formó 2.000 años después del Big Bang. Pero aun así no conocemos el gigantesco tamaño del universo que contiene estas grandes estructuras.
El objeto más pequeño que la ciencia nos ha permitido conocer es el quark pero al igual que el universo no sabemos si en su interior contiene algo sumamente más pequeño.
Creo que muchas veces nos conformamos con las cosas que ya se conocen y no buscamos mas alla de lo ya conocido. muchas veces es mejor tratar de conocer lo que no se ha conocido porque es de esa forma que muchas veces se han encontrado cosas realmente sorprendentes como el caso de Malderbrot con el descubrimiento de los fractales que para mi esta es una vivencia que nos incita a ver mas alla de las teorias ya dichas, como el caso de la más pequeño y lo más grande.
ResponderEliminar1.Bien para probar que e^iπ+ 1=0
ResponderEliminarPara facilitar el trabajo tomaremos en consideración la siguiente identidad donde
e^ik=cos(k)+isen(k), en este caso sustituiremos k=π para lo cual tendremos que
e^iπ=cos(π)+isen(π), notemos que cos(π)=-1 e isen(π)=0 entonces al sustituir estos valores en la ecuación anterior obtendremos que e^iπ=-1 y finalmente sustituyendo este valor el la formula que deseamos probar obtendremos que e^iπ+1=-1+1=0 e^iπ+1=0 que era lo que queríamos probar.
2. i^i es un numero real, bien si hacemos uso de la identidad anterior nuestro trabajo será mas fácil solo que en este caso la sustitución será k=π/2 entonces tendríamos que e^ik=cos(k)+isen(k) seria ahora
e^(i π/2)=cos(π/2)+ isen(π/2), notemos que cos(π/2)=0 y que isen(π/2)=i entonces
e^(i π/2)=i ,bien una ves que hemos obteniendo esta expresión sustituimos en i^i para lo cual tenemos que
e^((i π/2)i )=e^(ii(π/2) ) pero ii=i^2=-1 entonces finalmente nos quedaría e^(-(π/2) ) una expresión cuyo resultado es un numero real si lo metes en una calculadora
3.Observa que π^e= 22.45915772
Y que e^π= 23.140669263
Y como podrás notar e^π es mayor que π^e.
4.Ahora bien para determinar que objeto es infinitamente grande tendríamos que tener conocimiento de dicho objeto para el cual aun no lo tengo, así que no lo podría determinar de igual manera para uno infinitamente pequeño, Si bien es cierto sabemos que los quarks son las partículas mas pequeñas conocidas hasta ahora aun no quedaría determinado si existen partículas aun mas pequeñas que estas, la ciencia no termina aquí.
Si hiciéramos un viaje en el Universo de la más grande a la distancia más pequeña…
ResponderEliminarEsta noción de distancia comienza a 14 mil millones de años luz (talla del Universo) .El universo visible tiene un rayo de 14 mil millones de años luz simplemente porque tiene edad de cerca de 14 mil millones de años.
La talla verdadera del universo debe ser más importante que la del universo visible, pero no iremos más lejos.
Experimentalmente, la talla de un fermión elemental jamás pudo ser medida, un quark es un fermión elemental. Un quark es teóricamente una partícula puntual, no debe tener pues de talla...
1. Demostracion de la identidad de Euler e^iπ + 1 = 0:
ResponderEliminarSabemos que e^zi = isenz +cosz , usamos z =π
e^iπ = isenπ +cosπ =i*0 – 1 = –1
por lo que e^iπ + 1 = – 1 + 1 = 0
entonces e^iπ + 1 = 0.
2. Para determinar si i^i es un numero real
calculamos e^(iπ/2) usando la identidad e^zi = isenz +cosz:
tenemos que e^(iπ/2) = isen(π/2) +cos(π/2) = i*1 + 0
e^(iπ/2) = i
por lo que i^i = (e^(iπ/2))^i = e^( i^2(π/2)) y como i^2 = – 1
luego e^( i^2(π/2)) = e^(–π/2)
por tanto i^i es real.
3. e^π es igual a 23.140692… y π^e es igual a 22.459157… por lo que e^π es mayor que π^e.
4. Lo mas infinitamente pequeño es las partículas ‘quark’ y lo mas grande es la estrella VY Canis Majoris.
1.-Respondiendo a la primera pregunta.. En clase analizamos detenidamente la Formula de Euler, deducida por Leonhard Euler, que quizás bien puede considerársele el matemático màs grande de todos, por haber deducido esta formula que involucra a tres de los números más importantes: i,π y e, pues bien se sabe que dicha fórmula establece que e^iπ=cosπ+isenπ. La identidad de Euler (e^iπ+1=0) es cierta porque si nosotoros despues de realizar una serie de despejes utilizando las funciones Seno y Coseno, podemos sustituir la formula de Euler en la identidad de Euler! de La siguiente forma:
ResponderEliminarSi tenemos que e^iπ+1=0, y e^iπ=cosπ+isenπ, sustituimos el valor de e^iπ en la identidad de Euler, y todos sabemos que si nos queda como resultado una identidad, tal aseveracón es correcta! De modo que;
e^iπ+1=0
cosπ+isenπ+1=0 (Sustituyendo e^iπ en la Formula de Euler)
-1+0+1=0 (Calculamos el coseno y seno a π)
0=0 (Por lo tanto se cumple!)
Yo creo que esta es la forma más entendible de Explicarlo!
2.- i elevado a la i dá como resultado un real(i^i=R)de igual forma utilizamos la grandiosa formula de Euler
e^iθ=cosθ+isenθ
Explicación:
consideramos θ=90°, pasamos 90° a radianes y nos queda θ=π/2.
de tal manera que;
e^(i π/2)=cos(π/2)+isen(π/2)
e^(i π/2)= 0+i(1) ,(Calculamos el seno y coseno de π/2)
e^(i π/2)= i
Luego entonces sustituimos e^(i π/2) en i^i
quedándonos
(e^(iπ/2) )^i , utilizando (a^n )^m, Potencia de potencia.
tenemos que: (e^(iπ/2) )^i= e^(π/2), Este resultado es un real!!!
3.- Con respecto a la tercera pregunta;
e^π = 23.14069263 y
π^e = 22.45915772 por lo tanto
e^π > π^e.
4.- Responder la 4 pregunta es un reto para mi!
Y aún consultando la pagina que nos dio el Dr, creo que me es difícil indicar que objeto es el más pequeño, podría pensar que el quark sería el indicado, pero no se sabe aún que tan grande es el universo, de tal manera que no se que tamaño tendra por ejemplo... nuestro sistema solar en comparación con el aún no descubierto tamaño del universo,y creo muy firmemente que después de los quarks hay algo todavía más pequeño y posterior a eso otro y otro ...
Algunas personas han tratado de medir el tamaño del universo o su edad, pero eso no es cosa facil.
Para demostrar algo hay que tener peso, un peso que realmente sea convincente y comprobable, que no se base en suposiciones o métodos que tiendan a fallar!
No podría decir cuál es el objeto Infinitamente mas pequeño ni cual el infinitamente mas grande.
Lo que si podría es deducir o suponer (Que no es lo mejor) que son respectivamente El quark y el universo!!
Para Merly...
ResponderEliminarMe gusta mucho lo que piensa ud, pues es cierto, aún lo mas infinitamente indivisible no se ha descubierto. La comparacion que hace del atomo, el monte everest, la vía lactea, etc. Queda perfecta con la lectura que dimos al material de "En tratos con lo infinito", Benoit Mandelbrot aclara bastante ésto y trato de insistir en que no podemos y dudo si algun dia podremos decir con claridad y verdad, que es lo mas grande y lo mas pequeño!
Respuesta N°1
ResponderEliminarLa formula de Euler: e^iπ + 1 = 0
Se demuestra con:
e^iπ = isenπ +cosπ =i*0 – 1 = –1
Entonces
–1+1=0
Respuesta N° 2
i^i es un número rea….
i^i=0.20787958140365…
Se demuestra con la formula de Euler e^ix=cosx + i*sinx
i=e^iπ/2 entonces si sustituimos;
i^i = e^(iπ/2)^i, nos da e^i*i(π/2)
= e^-π/2 = 0.207879576
Respuesta N°3
e^π=23∙140692.. y π^e=22∙459157⋯
Entonces e^π> π^e
Respuesta N°4
Es una pregunta un tanto difícil de contestar, ya que aun no se ha descubierto todo, por lo tanto decir de los quarks son las partículas elementales, estaríamos en lo correcto en esta época, pero no se sabe si en el futuro esto será desmentido, al igual que decir que el universo es lo mas grande, pueden existir otros universos alternativos de igual o mayor tamaño que el que se conoce.
1: e^iπ + 1 = 0, la verificación es bastante sencilla y practica sustituyendo e^iπ por cosπ +isenπ nos queda; cosπ +isenπ +1 = 0, de lo cual obtenemos 3:cosπ= -1 y isenπ=0 de lo cual nos queda -1 + 1 = 0
ResponderEliminar4: infinitamente pequeño... infinitamente grande..., lei muchos textos y comence con la parte filosofica en la cual encontre una opinion que decia que es solo cuestion de gustos, luego me base en la idea matematica, en la cual encontre que lo infinitamente pequeño cada vez será mas infinitamente pequeño, al igual con lo infinitamente grande, bien ahora se analiza la parte de la física, la cual hace su mension en lo inmenso del universo, y de igual forma lo inmensamente pequeño que podria ser un quarks, claro esta que en relacion de conceptos a su tamaño ambos tienen un mismo limite de te tamaño, ya que creo que lo infinitamente pequeño esta formado por estructuras aun mas pequeñas y de igual forma para lo infinitamente grande, por cierto muy buena pregunta, que ha sido tema de debate desde hace ya un buen periodo de tiempo, esperamos que el acelerador de particulas logre generan una idea mas concreta acerca de este tema.
1.Para demostrar que e^iπ+ 1=0 nos podemos auxiliar de la ecuación trigonométrica siguiente: e^iθ=cosθ + isenθ para el valor θ=π tendríamos que e^iπ= cosπ + isenπ,
ResponderEliminarevaluando seno y coseno de π(cosπ=-1, isenπ=0) obtenemos e^iπ+1=-1+1=0.
∴e^iπ+ 1=0
2.Al pensar si i elevada a la i es real o imaginario pienso que a la primera se tiende a pensar en que es imaginario, pero al saber que I = i^i = 0,20787958140365... vemos que es un número real.
Ahora como encontramos ese valor
primero
Cos x + i· sen x =e^ix
luego sustituyendo x = π / 2
tenemos (cos π/2 = 0) y (sen π/2 = 1)
con lo que llegamos a
0 + i · ( 1 ) = e^iπ/2
→ i = e^iπ/2
elevando ambos miembros a la potencia i
Tenemos que: i^i = e^(i·i·π/2)
realizando las operaciones respectivas
se encuentra i^i = e^-π/2
evaluando llegamos a que i^i=0,20787958140365...
3.Quién es mayor
e^π o π^e, si resolvemos las poencias tenemos entonces que e^π > π^e.
4.Podría decir que el quarkz y el universo pensando fisicamente.Pero el objeto más grande en la naturaleza podría ser el que está formado por todos los demás objetos de esta, pero no sabemos cuales son todos esos objetos debido a que no conocemos si exiten más de los que se tiene conocimiento o si irán apareciendo más, decir precisamente cual es el más grande en la naturaleza no puedo.Y el mismo razonamiento me lleva a no poder mencionar el más pequeño, por que si avanzamos más en los descubrimientos y encontramos otras estructuras contenidas en las más pequeñas pensadas no podemos estar seguros de que estas no están formadas por otras.
La pregunta sobre lo infinitamente grande o pequeño es la que más posturas(fisicas, matemáticas, filosóficas) tiene obviamente.
ResponderEliminarEl pensar en este concepto(infinito) nos lleva a ampliar nuestro pensamiento, a querer comprender concretamente este concepto fundamental en la matemática, que desde tiempos remotos a puesto a trabajar a los matemáticos.Pocas son las veces en que podemos sentirnos comodos hablando de un concepto tan grande, pienso que la lectura del material nos a llevado a sentir de alguna manera esa comodidad que nos conduce a no enfrentarnos a una pregunta desde un punto de vista solamente sino que habrimos los parameros de nuestro pensamiento.
La pregunta sobre lo infinitamente grande o pequeño es la que más posturas(fisicas, matemáticas, filosóficas) tiene obviamente.
ResponderEliminarEl pensar en este concepto(infinito) nos lleva a ampliar nuestro pensamiento, a querer comprender concretamente este concepto fundamental en la matemática, que desde tiempos remotos a puesto a trabajar a los matemáticos.Pocas son las veces en que podemos sentirnos comodos hablando de un concepto tan grande, pienso que la lectura del material nos a llevado a sentir de alguna manera esa comodidad que nos conduce a no enfrentarnos a una pregunta desde un punto de vista solamente sino que abrimos los parámetros de nuestro pensamiento.
1.- verificar que: e^iπ + 1=0
ResponderEliminare^ix=cos(x)+ isen(x)
e^iπ + 1=0
cosπ + isenπ + 1=0
-1 + 1=0
0=0
2._ e^ix=cos(x)+ isen(x) x= π/2
i^i=(e^iπ/2)^i= e^-π/2
3._ e^π= 23.1406
π^e= 22.4591
4._ creo que esto es algo relativo devido a que hasta lo más grande está formado de los más pequeño y hasta la inmensidad casi inconcebible del espacio está formada por átomos y de la misma forma de objetos tan grandes como las estrellas entre otras.
1. e^iπ +1=0 Es verdadera. En clase vimos que e^iθ= isenθ + cosθ. Sustituyendo en la ecuación anterior y siendo π=θ
ResponderEliminartenemos: [isenπ + cosπ]+1 = [ i*0 +(-1)] +1 = 0.
2. i^i es un numero real.
Si tomamos e^iθ= isenθ + cosθ y θ=obtenemos que:
e^i(π/2) =[ isen(π/2) + cos(π/2)] = [ i*1 + 0 ] = i, luego sustituyendo la base en [i]^i ;siendo i= [e^i(π/2)], tenemos que [e^i(π/2)] ^i = e^(- π/2) y por cerradura en los reales el resultado es otro real.
3. e^ π > π^e
Podemos expresar ambos a una forma equivalente de logaritmos. Observamos que e^ π = (ln e) π = π = 3.14 y π^e=(ln π)e =3.11 .
4. Podemos observar que en el universo es lo que hemos llamado lo más grande y a la verdad no hemos llegado a palpar tal limite y sabemos que una estructura forma otra y que está a su vez forma otra y lo más pequeño conocido hasta ahora son los quark, pero no desprecio la idea que podría haber otra ya que aun no hemos alcanzado los artefactos necesarios como para desentrañar todo.
1. Comprobar que e^iπ+1=0
ResponderEliminarPara comprobarlo es necesario saber que e^iθ=cosθ+ isenθ, evaluando en
θ= π obtenemos e^iπ=cosπ+ isenπ + 1=0 evaluando queda (-1+0)+1=0 que era lo que queríamos demostrar.
2. ¿El número i^i es un número real o complejo?
Dado que e^iθ=cosθ+ isenθ, si θ= π/2, evaluando resulta
e^(i π/2)=cos(π/2)+ isen(π/2)=0+i por lo que e^(i π/2)=i
si elevamos ambos miembros de la igualdad a la potencia i:
i^i=[(e^(i π/2))]^i=e^(-π/2)=1/e^(π⁄2)=0.207879581 por lo tanto es un número real.
3. ¿Qué número es mayor e^π o π^e?
e^π=23.14069263 y π^e=22.45915772 por lo tanto e^π es mayor que π^e.
4. Cada día la ciencia ayuda a que el hombre pueda comprobar experimentalmente preguntas como éstas, si bien es cierto sabemos que los quarks son las partículas más pequeñas conocidas hasta el momento, aun no sabemos si existen partículas aun más pequeñas, no podría atreverme a asegurar cual es el objeto más grande y más pequeño sin tener una respuesta convincente, por lo que esperaré a dar mi opinión cuando tenga una base para hacerlo.
1. Bien conocido es que e^(iθ) = Cosθ + iSenθ de tal manera que la ecuación e^(iπ) + 1 = 0, puede despejarse como sigue:
ResponderEliminare^(iπ) + 1 = 0
e^(iπ) = - 1
Cos π +iSenπ = -1 como Cos π = -1 y Senπ = 0 entonces
-1 + i(0) = -1
i(0) = 0
(i(0))^2 = 0^2
(-1)(0) = 0
0=0
2. De la ecuación anterior podemos tomar e^(iπ) = - 1 y e^(iθ) = Cosθ + iSenθ para determinar si i^i es un número real o imaginario.
Tomando e^(iπ/2) = Cos(π/2) + iSen(π/2)
e^(iπ/2) = (0) + i(1)
e^(iπ/2) = i
Con este resultado se sustituye
i^i = ( e^(iπ/2) )^i
= e^(i*i*π/2)
= e^(-1(π/2))
= e^(-π/2) Que es un número real.
3. Para determinar quien es mayor, e^π o π^e , podemos expresarlas en términos de la sumatoria de la serie de e.
e^π = Σ(1+π/n)^n y
π^e = (6Σ(1/n^2) )^(e/2) dado que Σ(1/n^2) = π^2/6
Ambas desde n=1 hasta el infinito.
Como ambas series son convergentes, ya que sus límites son cero. Podemos usar un ordenador para determinar con la precisión deseada el cálculo de cada una y nos daríamos cuenta que
e^π > π^e
Puedes diseñar sus gráficas para ilustrarlo. Pero lo mas sabio es calcular a que valores convergen las series para compararlas.
4. Debemos pensar primero ¿Qué es un objeto? Si analizamos la composición de un pedazo de roca, notamos que esta compuesto por muchos granos pequeños, y cada grano de diminutas moléculas y átomos. Si le adjudicamos el título de objeto a la roca, cada pedazo también lo es, cada molécula también lo es. En general los objetos un objeto podría decirse, puede o no estar compuesto por objetos mas pequeños. Si analizamos el universo, este esta compuesto por objetos más pequeños, pero siguiendo la analogía, podemos tomarlo como un todo o sea, el objeto más grande de todos. Ahora bien, de acuerdo a las ultimas teorías relativistas y cuánticas, los átomos están compuestos por nucleones y electrones, se considera que los nucleones (protones y electrones) que se encuentran en el núcleo a su vez se dividen en partículas mas pequeñas llamadas quarks, Podría decirse que los quarks juegan el papel de las partículas mas pequeñas del universo, pero aparece la teoría de las cuerdas, donde se intenta unificar todas las interacciones de las cuatro fuerzas existentes por medio de cuerdas del tamaño de 10^-35 m (longitud de Planck), las cuales de acuerdo a su vibración, formarían los diferentes tipos de partículas elementales. Así pues el objeto mas pequeño seria una cuerda.
A todos los que dijeron que el universo es el objeto más grande de la naturaleza:
ResponderEliminarSaben ¿qué es El Universo? Según la NASA es todo lo que existe, incluyendo la Tierra, los planetas, estrellas, galaxias y todo lo que contienen; todo el cosmos. A partir de esta definición surge la inquietud a que se refieren "... y todo lo que contienen". Desde mi punto de vista esa afirmación incluye desde materia, energía, temperatura, etc. Entonces es apto calificar el Universo como un objeto, si algunos de los elementos que forman parte de el son propiedades físicas.