El cubo y la esfera

¡Hola amigos y alumnos! Continuando con la física de domingos comparto con ustedes un viejo problema de mis años de estudiante (la época en que programar en FORTRAN o en BASIC -para los principiantes- era la moda). El problema es el siguiente:

Utilizando figuras geométricas como el círculo y el cuadrado, o cuerpos geométricos como la esfera y el cubo, ¿Cómo, a partir de la generación de números aleatorios, se puede generar un valor (aproximado) del número Pi?

Este problema se puede estudiar con la ayuda de los matemáticos y los físicos del área de la mecánica estadística. Ellos utilizan un método estadístico de simulaciones al que llaman “Métodos de Monte Carlo” (supongo que es para recordarnos de los famosos juegos de azar en el Casino de monte Carlo en el Principado de Mónaco, en Europa). Pero antes de que traten de resolver este problema les invito a que resuelvan algunos problemas sencillos de geometría cuya solución les ayudará a resolver el problema originalmente planteado. Analizen el problema siguiente:

Se tiene un cubo que cubre totalmente el volumen de una esfera. Las caras del cubo son superficies tangentes a la superficie de la esfera.

PREGUNTA: ¿Qué porcentaje (aproximado) del volumen del cubo es ocupado por
la esfera?

Después de que hagan sus cálculos pueden participar en la siguiente encuenta:

Para que puedan dar primero una respuesta intuitiva se les proporcionan una serie de fotografías de un adorno de vidrio que tiene en su interior una esfera que simula la superficie de la Tierra. También se les proporciona un video corto que muestra el adorno de vidrio desde distintos ángulos.